1.1.1 Введення поняття

Згідно вільної енциклопедії "Вікіпедія" (1)

"Дімлення (також ділінням)-- в математиці, бінарна операція, що обернена множенню."

Але дане визначення має досить складне формулювання (2)

"Ділення (операція ділення) - одне з чотирьох найпростіших арифметичних дій, зворотне множенню.

Поділ - це така операція, в результаті якої виходить число (приватне), яке при множенні на дільник дає ділене…"

Таке тлумачення дає тлумачний словник (3):

"Ділення, с. 1. Дія за знач, ділити. Математична дія, за допомогою якої дізнаються, скільки разів одна величина вміщається в другій, одно число -- в другому або у якому відношенні вони знаходяться. Ділення відносних чисел є дія, з допомогою якої за даним добутком двох співмножників і одним із цих співмножників відшукують другий співмножник."

А ось іще одне тлумачення (4) згідно авторки статті Скворцової, дія ділення це :

"Ділення -- дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходиться другий множник. Якщо , то і . У записі число с -- ділене, b -- дільник, число а, а також вираз -- частка. Частка показує, у скільки разів ділене більше дільника."

Отже якщо сформулювати коротко, то дія ділення - це математична дія яка вказує на залежність чисел та має такі компоненти: ділене (вихідне число, або ціле), дільник (те на скільки частинок треба розділити ціле) і частка (результат дії).

Скворцова виділяє прості правила ділення:

"1. На 0 ділити не можна. 2. Якщо розділити число на 1, дістанемо те саме число: . 3. Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: . 4. Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: . Ділення з остачею Число а ділиться на число b націло, якщо , де n -- яке-небудь натуральне число. Наприклад, 15 ділиться націло на 3, оскільки . В іншому випадку можна поділити а на b з остачею.

Для будь-яких чисел а та b завжди знайдуться такі числа с і r (натуральні або 0), що , де ."

З попереднього визначення випливає нове значення,а саме "ділення з остачею", зараз ми його і розглянемо.

Згідно вільної енциклопедії (1)

"Ділення з остачею (ділення по модулю, ділення націло) -- арифметична операція, результатом якої є два числа: неповна частка та остача."

Такі завдання пропонує підручник для початкових класів(9):

"1020. Виконай ділення з остачею. 21 : 6 48 : 7 54 : 8 20 : б

Зразок міркування. Нехай треба поділити 27 на 6. Знайдемо найбільше з чисел від 1 до 27, яке ділиться на 6. Це 24; 24 : 6 = 4. Знайдемо остачу: 27 - 24 = 3. Отже, 27 : 6 = 4 (ост. 3). 1021. Розглянь записи прикладів на ділення на 4. 8 : 4 = 2 14 : 4 = 3 (ост. 2) 9 : 4 = 2 (ост. 1) 15 : 4 = 3 (ост. 3) 10 : 4 = 2 (ост. 2) 16 : 4 = 4 11 : 4 = 2 (ост. 3) 17 : 4 = 4 (ост. 1) 12 : 4 = 3 18 : 4 = 4 (ост. 2) 13 : 4 = 3 (ост. 1) 19 : 4 = 4 (ост. 3)

Скільки різних остач? Яка остача найбільша? 1022. Чашка коштує 5 грн. Скільки чашок можна купити на 33 грн.? 1023. Поділи кожне з чисел від 20 до 31 на 5. Розглянь, які остачі дістаємо при діленні на 5. Скільки різних остач? 20 : 5 = 4 23 : 5 26 : 5 29 : 5 21 : 5 = 4 (ост. 1) 24 : 5 27 : 5 30 : 5 22 : 5 = 4 (ост. 2) 25 : 5 28 : 5 31 : 5 1024. Скільки може бути різних остач при діленні на 7? 1025. Купили однакову кількість пакетиків ванільного цукру і приправ. За цукор заплатили 60 к., по 20 к. за пакетик, а за приправи -- 2 грн. 10 к. Скільки коштує пакетик приправ?

У методиці це питання описується таким чином (5):

"Ділення одного натурального числа на інше ціле не завжди виконується. Тому розглядають більш загальну дію -- ділення з остачею.

Поділити натуральне число на натуральне число з остачею -- означає подати число у вигляді де і -- невідємні цілі числа, причому Число при цьому називається неповною часткою, а число -- остачею від ділення на Наприклад, при діленні числа 27 на 6 неповна частка дорівнює 4, а остача Щоб знайти ділене при діленні з остачею, потрібно неповну частку помножити на дільник і до здобутого добутку додати остачу. Очевидно, що тоді і тільки тоді, коли є дільником Ділення з остачею завжди виконується, про що свідчить наведена далі теорема (теорема про ділення з остачею).

Натуральне число є дільником натурального числа, якщо це -- натуральне число. У цьому разі кажуть, що число ділиться без остачі на число Зазначимо, що з рівності випливає, що число також ділиться без остачі і на число тобто -- дільник числа . Наприклад, 5 і 3 -- дільники числа 15. Нагадаємо, що натуральні числа, які діляться на 2, а також число 0, називаються парними, а натуральні числа, що не діляться на 2, -- непарними. Кратним числа називають число яке ділиться без остачі на Множина чисел, кратних даному число нескінченна.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на певне число, то їхня сума також ділиться на це число. Наслідок. Якщо сума двох доданків і одне з них діляться на деяке число, то й інший доданок ділиться на це число."

У даному розділі для третього класу також вирізняють особливий вид ділення,що має назву "поза табличне".

Згідно джерела (8) знаходимо такий порядок вивчення:

"Усі випадки множення і ділення, що виходять за межі таблиць умовно названі "поза табличними", і розглядаються на прикладі чисел в межах 100, аузагальнюються на числах в межах 1000. Однак сама тема "

Усне множення і ділення " пропонується в рамках розділу " множення і ділення в межах 1000".

Тема вивчається в наступному порядку:

1. Множення і ділення з числами 0, 1, 10, 100.

2. Множення і ділення розрядних чисел на одноцифрове число.

3. Ділення числа на добуток. Ділення виду 80 : 20, 600 : 30.

4. Множення суми на число і числа на суму. Множення виду 24 * 3, 4 * 21, 320* 3.

5. Ділення суми на число. Ділення виду 39 : 3, 72 : 6.

6. Перевірка ділення і множення. Ділення виду 64 : 16, 125 : 25.

7. Ділення з остачею.

Як бачимо, різноманітні випадки множення і ділення вводяться після вивчення відповідних властивостей арифметичних дій. Це обумовлено тим, що прийоми поза табличного множення і ділення побудовані на властивостях:

1) ділення числа на добуток:

розділити число на добуток можна таким чином, спочатку розділити число на один із множників, а потім результат поділити на інший множник:

2) множення суми на число:

щоб помножити суму на число, можна помножити кожний доданок на це число, і отримані добутки скласти:

3) множення числа на суму:

щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожний доданок, і отримані добутки скласти:

4) ділення суми на число:

щоб розділити суму на число, можна розділити кожний доданок на це число, і отримані частки додати.

В результаті вивчення теми учні повинні знати і уміти:

1. Знати і вміти застосовувати правила:

- множення будь-якого числа на одиницю або нуль;

- ділення будь-якого числа на одиницю;

- ділення будь-якого числа на само себе;

- ділення нуля на будь-яке число;

- неможливість ділення на нуль;

- множення будь-якого числа на 10 та 100.

2. Знати властивості арифметичних дій множення і ділення:

А) множення суми на число;

Б) ділення суми на число;

В) ділення числа на добуток;і вміти ними користуватися при усних обчисленнях.

3. Засвоїти прийоми усних обчислень в межах 100: знати як і вміти:

А) множити і ділити розрядне число на одноцифрове;

Б) ділити розрядне число на розрядне;

В) множити двоцифрове число на одноцифрове;

Г) ділити двоцифрове число на одноцифрове;

Д) ділити двоцифрове число на двоцифрове.

4. Вміти виконувати усне ділення з остачею."

Важливою передумовою введення письмового ділення є ділення суми на число. (8)

"На першому уроці вводиться і опрацьовується правило ділення суми на число.

Методика роботи аналогічна методиці введення і опрацювання правила множення суми на число

В діленні двоцифрового числа на одноцифрове виділяються два випадки:

1. Коли ділене замінюють сумою розрядних доданків, тобто кожний з них ділиться на дільник.

2. Коли ділене замінюють сумою зручних доданків, кожний з яких ділиться на дільник.

На другому уроці діти знайомляться з випадком ділення двоцифрового числа на одноцифрове, на підставі правила ділення суми на число, коли ми ділене замінюємо сумою розрядних доданків.

Методика ознайомлення.

Учням пропонується спочатку обчислити значення частки (30 + 9) : 3, а потім зясувати, як попередні обчислення можна застосувати для знаходження частки чисел 39 та 3. Далі надається зразок дій і повна орієнтувальна основа. Діти вчаться застосовувати її при розвязуванні прикладів. На наступному уроці вводиться новий випадок ділення двоцифрового числа на одноцифрове, коли ділене треба подати у вигляді суми зручних доданків.

На підготовчому етапі слід актуалізувати уміння:

- виділяти двоцифрові розрядні числа, які можна розділити на 2 (20,40, 60, 80), на 3 (30, 60, 90) й тощо;

- подавати число різними способами у вигляді суми двох доданків,кожне із яких ділиться на певне число; заміняти число сумою зручних доданків;

- ділити суму на число;

Ознайомлення з новим випадком ділення двоцифрового числа на одноцифрове треба розпочати з створення проблемної ситуації:

- Знайдіть значення частки чисел 36 та 3.

- Як треба міркувати?

- Чи можна так само міркувати при знаходженні значення частки чисел42 і 3? ( Не можна, якщо число 42 подамо у вигляді суми розрядних доданків 40 і 2, але 40 на 3 не ділиться і 2 на 3 не ділиться.)

- Таким чином, що ж нас не влаштовує? ( Ділене 42 не треба заміняти сумою розрядних доданків.)

- А якою сумою треба замінити ділене 42? ( Сумою таких чисел, кожне з яких ділиться на дільник.) Така сума називається сумою зручних доданків.

- Замініть ділене 42 сумою зручних доданків і виконайте ділення. 42 : 3 = ( 30 + 12 ) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 1442 : 3 = ( 27 + 15 ) : 3 = 27 : 3 + 25 : 3 = 9 + 5 = 1442 : 3 = ( 24 + 18 ) : 3 = 24 : 3 + 18 : 3 = 8 + 6 = 14

- Розкажіть як треба міркувати. Що треба зробити першим кроком? Другим кроком? Третім кроком?"

Наступним кроком є ділення двоцифрового числа на двоцифрове (8):

"Ознайомлення з діленням двоцифрового числа на двоцифрове число здійснюється способом випробування.

Треба зазначити, що з способом випробування діти познайомились при вивченні ділення розрядного числа на розрядне число, тому відомий їм спосіб міркування треба перенести в нову ситуацію:

- Знайдіть значення частки способом випробування: 80 : 20.

- Як ми міркували? (Розділити 80 на 20 - це означає знайти таке число, яке при множенні на 20 дає 80. Будемо шукати його способом проб: спробуємо число 2, помножимо 2 на дільник, порівняємо результат з діленим .....)

- Чи можна так само міркувати при обчислюванні частки чисел 64 та16? ( Можна. 64 поділити на 16 - це означає знайти таке число, яке при множенні на 16 дає 64. Це число будемо шукати випробуванням.

Починаємо випробувати числа, починаючи з 2...)В рамках даної теми існує можливість познайомити учнів з більш раціональним способом проб, застосовуючи прикидку: 51 : 17 = ,* 17 =51*

Прикидка: шукаємо таке число, яке при множенні на одиниці дільника, 7, дає результат, що закінчується одиницями діленого,

1. При множенні 3 на 7 в результаті отримаємо число 21, воно закінчується

1. Чи є інші такі числа? ( Ні.)

Випробуємо лише число 3: 3 * 17 = 51.

Висновок: 3 - є часткою чисел 51 та 17.

Треба зазначити, що діленні двоцифрового числа на двоцифрове можна здійснювати способом послідовного ділення. Ми вже виконували такі завдання при вивченні правила ділення числа на добуток (див. Тему "Ділення числа на добуток. Ділення розрядного числа на розрядне".) Тут треба звернути увагу, на подання дільника у вигляді добутку зручних множників: першим повинно бути найбільше число, на яке ділиться дільник за таблицями ділення."

Ми вже розглядали приклади пояснення ділення з остачею, що було описано у підручнику,а тепер розглянемо це поняття згідно методики(8):

"Конкретний зміст ділення з остачею розкривається при розвязуванні задач на ділення на вміщення та на рівні частини, за допомогою операцій з предметами:учні впевнюються, що не завжди можна виконати розбиття множини на рівно чисельні підмножини, і що в таких випадках операція розбиття повязується з дією ділення з остачею.

Задача.

20 кольорових олівців дівчинка поставила в склянки, по 6 олівців у кожну. Скільки дівчинка отримала склянок з олівцями.

Це задача на конкретний зміст дії ділення на вміщення, тому учні відразу можуть записати її розвязання наступним чином: 20 : 6.

Але знайти значення цієї частки вони не можуть, тому що не існує такого числа, яке при множенні на 6 дає 20.

Складається проблемна ситуація. Вчитель пропонує її вирішення засобом практичних дій:

- Скільки потрібно взяти олівців, щоб покласти в першу склянку? (6) Візьміть 6 олівців і покладів їх в першу склянку.

- Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)

- Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у другу склянку. Скільки потрібно взяти олівців? (6) Беремо 6 олівців і кладемо у другу склянку.

- Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)

- Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у третю склянку. Скільки потрібно взяти олівців? (6) Беремо 6 олівців і кладемо у третю склянку.

- Чи всі олівці ми розклали? (Ні, залишилося 2 олівці.) Чи можна їх покласти у четверту склянку? (Ні, тому що треба розкладати по 6олівців у кожну склянку, а тут лише 2.)

- Скільки ми отримали склянок з олівцями? (Три склянки по 6 олівців в кожній.)

- Скільки олівців залишилося? (Залишилося 2 олівці.)

- Розвязання цієї задачі можна так: 20 : 6 = 3 ( ост. 2) - ми виконали ділення з остачею, тут: 20 - ділене, 6 - дільник, 3 - частка, 2 - остача.

Цей запис читають так:

20 розділити по 6, в частці буде 3 і в остачі 2.

Після ознайомлення з дією ділення з остачею учні виконують ділення з остачею, спираючись на практичні дії:

17 : 3 Порівнюючи приклади на ділення націло і ділення з остачею:12 : 3 = 4 16 : 4 = 4 10 : 5 = 213 : 3 = 4 ( ост 1) 18 : 4 = 4 (ост. 2) 13 : 5 = 2 ( ост. 3) учні дістають висновку: в остачі отримуємо число, яке показує на скільки ділене більше за число, яке ділиться на дільник націло, а в частці отримуємо те ж саме число, що й при діленні націло. На другому уроці учні знайомляться з алгоритмом ділення з остачею:

Памятка

Ділення з остачею

1. Називаю всі числа, які менші за ділене, які діляться на дільник націло.

2. Найбільше з них ділю на дільник і результат записую в частці.

3. Віднімаю знайдене число з діленого, отримую остачу. Записую удужках.16 : 31)3, 6, 9, 12, 152)15 : 3 = 5 - це частка3)16 - 15 = 1 - це остача16 : 3 = 5 (ост. 1)"

Ми розглянули всі необхідні випадки, а тепер нам необхідно розглянути саме письмове ділення. Це можливо зробити розглянувши тлумачення із статті (10):

"З письмовим діленням учні початкової школи вперше знайомляться в концентрі "Тисяча" після усних прийомів поза табличного ділення. Тут вивчається письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове, та учні знайомляться з діленням трицифрового числа на двоцифрове. Продовження формування навиків письмового ділення здійснюється в концентрі "Багатоцифрові числа", де діти вчаться ділити багатоцифрове число на одноцифрове та двоцифрове число і знайомляться з діленням на трицифрове число. Однак, в початковій школі не закінчується процес формування навичка письмового ділення. В 5-му класі середньої школи, у першій темі школярі знайомляться з числами у межах мільярду і вчаться ділити ці числа на двоцифрове та трицифрове число.

Письмове ділення - це складна дія, яка передбачає виконання послідовних елементарних дій, які самі по собі теж складаються з певних операцій, а саме дій:

· Визначення 1-го неповного діленого.

· Визначення найвищого розряду частки.

· Визначення кількості цифр в частці.

· Виконання ділення з остачею під час ділення неповного діленого на дільник.

· Визначення числа одиниць певного розряду, що розділилися.

· Визначення числа одиниць певного розряду, що не розділилися.

· Перевірки вірності відповідної цифри частки.

· Утворення наступного неповного діленого.

Зокрема в певних випадках письмового ділення застосовуються ще й прийом знаходження цифри частки на підставі заміни дільника меншим круглим числом і засіб перевірки пробних цифр частки.