2.2 Введення поняття тригонометричних функцій числового аргументу

Насамперед потрібно згадати означення тригонометричних функцій кута і поширити їх на будь-яку градусну міру, ввести кут повороту. Крім того, слід переконати учнів, що існує відповідність між множиною дійсних чисел і множиною точок одиничного кола, для чого попередньо виконати таку вправу.

Приклад 1. Позначити на одиничному колі точки , в які відображується початкова т.Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут радіанів, якщо , , , , , (Рис.2.2).

Розвязання. За із формули довжини дуги, вираженої через радіанну міру, випливає , де - радіанна міра центрального кута і відповідної йому дуги. Це означає, що числове значення довжини дуги збігається з числовим значенням її радіанної міри.

Оскільки т., в яку відображається т.Р0(1;0), лежить на перетині осі у з колом і , , то т., в яку відображається Р0(1;0), лежатиме на колі між точками і . Точки і містяться на колі в 4-й чверті симетрично точкам і відносно осі .

Числу відповідає точка початок Р0 (1;0) - початок відліку дуг на одиничному колі, числу - т., яка є кінцем дуги, що дорівнює двом дугам .

Розвязуючи цю вправу, небажано переходити від радіанної міри до градусної, хоч учням легше замінити 1 рад на 57°, а рад - на 90° і відшукати т. на дузі кола. Важливо навчити учнів знаходити відповідні точки на колі для кутів, заданих радіанною мірою, оскільки метою є ввести поняття тригонометричної функції довільного числа.

На завершення розвязування цієї вправи доцільно розглянути координатну вісь, яка є дотичною до одиничного кола в т.Р0(1;0), має початком відліку цю точку й одиницю відліку, що дорівнює радіусу одиничного кола. Якщо намотувати цю координатну вісь на одиничне коло, то наочно виявляється відповідність між множиною R дійсних чисел і множиною точок одиничного кола.

Увагу учнів звертають на те, що кожній т. на одиничному колі відповідають її абсциса й ордината, які також залежать від числа . Тому маємо ще дві залежності між дійсним числом і абсцисою та ординатою відповідної т., в яку відображується початкова т.Р0(1;0) одиничного кола при повороті навколо центра кола на кут радіанів. Отже, існують відповідності між множиною дійсних чисел і множиною абсцис і ординат т. одиничного кола. Ці залежності (відповідності) дістали назву тригонометричних функцій числа або тригонометричних функцій числового аргументу.

Означення 1. Синусом числа називають ординату точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут радіанів. Його позначають .

Означення 2. Косинусом числа називають абсцису точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при

повороті навколо центра кола на кут радіанів. Його позначають .

Означення 3. Тангенсом числа називають відношення , а котангенсом числа - відношення , їх позначають відповідно , .

Отже, за означенням, , .

Оскільки кожному дійсному числу можна поставити у відповідність дійсні числа і , то вважатимемо, що на множині R задано функції , . Враховуючи, що визначений для всіх , крім тих, за яких , і кожному дійсному числу, крім , відповідає єдине число , вважатимемо, що - функція, областю визначення якої є всі дійсні числа, крім .

Міркуючи аналогічно, можна зробити висновок, що функція областю визначення має множину всіх дійсних чисел, крім.

Для побудови графіків функцій , і для розвязування деяких задач доцільно запровадити поняття лінії тангенсів і лінії котангенсів.

Послуговуючись означеннями 1 - 3, потрібно колективно дослідити характер зміни значень кожної з тригонометричних функцій та їхніх знаків.

Для тангенса і котангенса зручно використати їхні лінії як дотичні до одиничного кола. Запамятовуванню знаків функції по координатних чвертях сприяє схема (Рис. 2.3.).

Рис. 2.3

З метою повторення відомостей з курсу геометрії про значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° слід знайти ці значення для відповідних радіанних мір.

Приклад 2. Знайти значення всіх чотирьох тригонометричних функцій числа .

Розвязання. Щоб знайти і , досить знайти ординату і абсцису т. (Рис. 2.4.), яка відтинає частини дуги . У прямокутному трикутнику , а . Оскільки у прямокутному трикутнику катет, що лежить напроти кута , дорівнює половині гіпотенузи, то . За теоремою Піфагора,

, ,

, .

Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій чисел і . Учитель рекомендує учням запамятати значення функцій чисел , , , оскільки ними часто послуговуються, розвязуючи інші задачі. Ці значення зводять до табл. 2.1.

Таблиця 2.1.

Щоб учні легше запамятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис. 2.5.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до , «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.

Мнемонічне правило (для тригонометра)

1. Якщо кут відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції змінюється: на , на , на , на ;

Якщо кут відкладається від горизонтального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції не змінюється.

2. Перед новою функцією записується той знак, який мала функція, що зводилася.

Рис. 2.5.